Retas perpendiculares

Retas perpendiculares são duas retas que formam um ângulo reto. É possível determinar se duas retas são ou não perpendiculares a partir de seus gráficos ou equações.

Retas perpendiculares são duas retas cujo ângulo entre elas mede 90°. Se r e s são retas perpendiculares, então escrevemos \(r⊥s\). Podemos identificar duas retas perpendiculares a partir de suas equações reduzidas, que apresentam o formato \(y=mx+n\). Se \(m_r\) é o coeficiente angular de r e \(m_s\) é o coeficiente angular de s, então \(m_r⋅m_s=-1\).

Resumo sobre retas perpendiculares

Duas retas são perpendiculares se o ângulo entre elas é reto, ou seja, mede 90°.
Escrevemos \(r⊥s\) para denotar que r é perpendicular a s.
Se r e s são retas perpendiculares, então vale a seguinte relação entre os coeficientes angulares de r \((m_r)\) e de s \((m_s)\):

\(m_r=-\frac{1}{m_s }\)

Se r e s são retas perpendiculares, \(a_r x+b_r y=c_r\) é a equação geral da reta r, e \(a_s x+b_s y=c_s \) é a equação geral da reta s, então

\(a_r⋅a_s+b_r⋅b_s=0\)

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O que são retas perpendiculares?

Considere que as retas r e s estão contidas em um mesmo plano e se cruzam, ou seja, são concorrentes. Dizemos que r e s são perpendiculares se o ângulo entre elas é 90°. Notação: \(r⊥s\) (lê-se “r é perpendicular a s”). Na representação gráfica, o ângulo reto é indicado por um pequeno quadrado.

Ângulo reto entre duas retas perpendiculares.

Quais são as propriedades das retas perpendiculares?

Propriedade 1: Como as retas perpendiculares são um caso particular de retas concorrentes, então por duas retas perpendiculares a um único plano. Em outras palavras, dadas duas retas perpendiculares, existe apenas um plano que as contém.
Propriedade 2: Suponha que r, s e t são retas tais que r é perpendicular a s, e r é perpendicular a t. Então, s e t são retas paralelas, ou seja, são retas que não possuem pontos em comum.

Retas perpendiculares e paralelas.

Coeficiente angular de retas perpendiculares

Considere \(y_r=m_r⋅x+n_r\) a equação reduzida da reta r e \(y_s=m_s⋅x+n_s\) a equação reduzida da reta s. Assim, mr e ms são os coeficientes angulares das retas r e s, respectivamente.

Analisando a relação entre \(m_r\) e \(m_r\), podemos determinar se as retas r e s são perpendiculares ou não. Se r e s são retas perpendiculares, então

\(m_r=-\frac{1}{m_s }\)

Ou, de forma equivalente,

\(m_r⋅m_s=-1\)

Veja também: Como calcular a distância entre dois pontos

Como identificar duas retas perpendiculares entre si?

Vejamos como identificar duas retas perpendiculares entre si a partir de suas equações reduzidas.

Exemplo 1:

As retas \(r: y=x-3\) e \(s: y=-x + 7\) são perpendiculares?

Note que \(m_r=1\) e \(m_s=-1\) e

\(m_r⋅m_s=1⋅(-1)=-1\)

Portanto, as retas r e s são perpendiculares.

Exemplo 2:

As retas \(r: y=3x-7\) e \( s: -6x+47 \) são perpendiculares?

Observe que \(m_r=3\) e \(m_s=-6\) e

\(m_r⋅m_s=3⋅(-6)=-18\)

Portanto, as retas r e s não são perpendiculares.

Método prático para identificar retas perpendiculares

Outro modo de identificar se duas retas são perpendiculares entre si é verificar a relação entre os coeficientes das equações gerais. Considere \(a_r x+b_r y=c_r\) a equação geral da reta r e \(a_s x+b_s y=c_s\) a equação geral da reta s. Se r e s são retas perpendiculares, então

\(a_r⋅a_s+b_r⋅b_s=0\)

Exemplo:

As retas \( r: 5x+2y=14 \) e \(s: -2x+5y=-43\) são perpendiculares?

Perceba que \( a_r=5\), \(a_s=-2\), \(b_r=2 \) e \(b_s=5\) e

\(a_r⋅a_s+b_r⋅b_s=5⋅(-2)+2⋅5 = -10 + 10=0\)

Portanto, as retas r e s são perpendiculares.

Saiba mais: Retas paralelas cortadas por uma transversal — ângulos e propriedades

Posições relativas entre retas

Considere que as retas r e s são distintas e estão contidas em um mesmo plano. Assim, r e s podem ser retas concorrentes ou paralelas.

Retas concorrentes: r e s são concorrentes se possuem um ponto de intersecção. Se o ângulo entre r e s é 90°, as retas são perpendiculares.
Retas paralelas: r e s são paralelas se não possuem nenhum ponto em comum.