Regras de derivação

As regras de derivação são um conjunto de fórmulas e técnicas que auxiliam no cálculo da derivada de diferentes tipos de funções, ajudando-nos a encontrar a derivada de forma mais fácil do que utilizando a definição. São elas:

• Derivada da constante
• Regra da potência
• Regra da soma e diferença
• Regra do produto
• Regra do quociente
• Regra da cadeia

A derivada é um conceito estudado no cálculo diferencial, sendo base para o estudo de cálculo. A derivada mede a taxa de variação de uma função em relação à sua variável independente para determinado ponto. Geometricamente, a derivada pode ser interpretada como o coeficiente angular da reta que é tangente ao gráfico da função para determinado ponto.

Leia também: Afinal, o que é função?

Resumo sobre as regras de derivação

• As regras de derivação são fórmulas que auxiliam no cálculo da derivada de diferentes tipos de funções.
• São elas: derivada da constante, regra da potência, regra da soma e diferença, regra do produto, regra do quociente, e regra da cadeia.
• A derivada mede a taxa de variação de uma função.
• Geometricamente a derivada é o coeficiente angular da reta que é tangente ao gráfico da função em determinado ponto.
• Existem alguns casos de derivadas que recebem nomes específicos, são eles a derivada ordinária, derivada parcial, derivada implícita e as derivadas de ordem superior.
• O cálculo da derivada é essencial em diversas áreas da Matemática e das ciências aplicadas.

Quais são as regras de derivação?

As regras de derivação são fórmulas utilizadas para encontrar a derivada de uma função sem precisar recorrer à definição da derivada em si, ou seja, sem usar a fórmula de limite apresentada anteriormente. Veremos cada uma dessas regras a seguir.

• Derivada da constante: dada uma função constante, sua derivada é sempre igual a 0.
• Regra da potência: utilizada para derivar funções da forma f(x)=xⁿ.
• Regra da soma e diferença: permite derivar a soma e a diferença de funções.
• Regra do produto: usada para derivar o produto de duas funções.
• Regra do quociente: aplicada para derivar o quociente entre duas funções.
• Regra da cadeia: utilizada para derivar funções compostas.

Mais adiante, conheceremos a fórmula de cada uma delas e como calcular a derivada desses tipos de funções.

Afinal, o que é derivada?

A derivada é uma ferramenta matemática que nos diz como a função está mudando em um ponto específico. Ela mostra a taxa de variação de uma função em relação à sua variável. Em outras palavras, a derivada nos dá a inclinação da reta que é tangente à curva da função em determinado ponto. Quando estudamos cálculo, a derivada é um dos conceitos fundamentais, com aplicações na Física, na Engenharia e em outras áreas.

Por exemplo, se uma função descreve a posição de um carro no tempo, a derivada dessa função vai nos dar a velocidade do carro naquele instante, ou seja, o quanto a posição está mudando ao longo do tempo. Então, a derivada nos ajuda a entender o comportamento de uma quantidade que está mudando, seja a velocidade de um objeto, seja qualquer outra coisa que dependa de uma variável.

A definição formal de derivada é:

\(f'(a) = \lim\limits_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h} \)

• f'(a) → derivada da função f(x) quando x = a.
• \(\lim\limits_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h} \) calcula o limite da função quando h se aproxima de 0.

Tipos de derivadas

Existem alguns casos de derivadas que recebem nomes específicos, são eles: derivada ordinária, derivada parcial, derivada implícita, e derivadas de ordem superior.

→ Derivada ordinária

Os exemplos que vimos no texto são todos de derivadas ordinárias, as mais comuns, pois representam a taxa de variação de uma função em relação a uma variável independente.

• Exemplo:

\(f(x) = x^2 \rightarrow f'(x) = 2x\)

→ Derivada parcial

Quando a função tem mais de uma variável, a derivada parcial calcula a taxa de variação em relação a uma variável, mantendo as outras constantes.

• Exemplo:

\(f(x, y) = x^2 + y^3 \)

• • Derivada da função em relação à variável x:

\(\frac{d_f}{d_x} = 2x \)

• • Derivada da função em relação à variável y:

\(\frac{d_f}{d_y} = 3y \)

→ Derivada implícita

Utilizada quando a função não está explicitamente resolvida em termos da variável dependente.

• Exemplo:

x² + y² = 16

Então, calculando a derivada de ambos os lados, temos que:

\(\frac{d}{dx} (x^2 + y^2) = \frac{d}{dx} (16) \)

Aplicando a derivada para cada termo, temos que:

\(2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0 \\ 2y \frac{dy}{dx} = -2x \\ \frac{dy}{dx} = \frac{-2x}{2y} \\ \frac{dy}{dx} = \frac{-x}{y} \)

→ Derivada de ordem superior

As derivadas de ordem superior são derivadas sucessivas de uma função.

• Exemplo:

\(f(x) = x^3 \)

• • Primeira derivada: \(f'(x) = 3x^2 \)
  • Segunda derivada: \(f''(x)=6x \)
  • Terceira derivada: \(f'''(x)=6\)

Fórmula da derivada

Para cada uma das regras de derivação, temos uma fórmula para o cálculo da derivada.

→ Derivada da contante

A derivada de uma função constante é sempre igual a 0, logo, se f(x) = c, temos que:

\(\frac{d}{dx} c = 0 \)

→ Regra da potência

Dada a função f(x) = xⁿ, sua derivada f'(x) será:

\(\frac{d}{dx} x^n = n \cdot x^{n-1} \)

→ Regra da soma e diferença

A derivada da soma de duas funções é igual à soma de suas derivadas, o mesmo vale para a diferença, então, seja f(x) = g(x) ± h(x), temos que:

\(\frac{d}{dx} \left[ g(x) + h(x) \right] = g'(x) \pm h'(x) \)

→ Regra do produto

A derivada do produto de duas funções é igual à derivada da primeira função vezes a segunda função mais a primeira função vezes a derivada da segunda função. Então, seja f(x) = g(x) · h(x), temos que:

\(\frac{d}{dx} \left[ g(x) \cdot h(x) \right] = g'(x) \cdot h(x) + g(x) \cdot h'(x) \)

→ Regra do quociente

Seja \(f(x) = \frac{g(x)}{h(x)} \), então temos que:

\(\frac{d}{dx} \cdot \left[ \frac{g(x)}{h(x)} \right] = \frac{g'(x) \cdot h(x) - g(x) \cdot h'(x)}{[h(x)]^2} \)

→ Regra da cadeia

Dada a função composta f(x) = g(h(x)), temos que:

\(\frac{d}{dx} \left[ g(h(x)) \right] = g'(h(x)) \cdot h'(x) \)

Como calcular a derivada?

Agora resolveremos alguns exemplos de derivada para cada um dos casos supracitados.

→ Cálculo da derivada de uma função constante

• Exemplo:

Seja f(x) = 3, então calcule f'(x).

Resolução:

Como f(x) é uma função constante igual a 3, então sua derivada é 0, ou seja:

f'(x) = 0

→ Cálculo da derivada de funções utilizando a regra da potência

• Exemplo 1:  

Seja f(x) = x³, calcule a derivada dessa função em relação à variável x.

Resolução:

Note que essa função tem uma potência. Utilizando a regra da potência, temos que:

\(f(x) = x^n \rightarrow f'(x) = n \cdot x^{n-1} \)

Aplicando a fórmula:

\(f(x) = x^3 \rightarrow f'(x) = 3x^{3 - 1} \)

Logo, temos que:

\(f'(x) = 3x^2 \)

• Exemplo 2:

Seja f(x) = 5x, calcule f'(x).

Resolução:

Ainda que não apareça uma potência no x, sabemos que, nesse caso, seu expoente é igual a 1, então temos que:

\(f(x) = 5x^1 \rightarrow f'(x) = 1 \cdot 5x^{1 - 1} \\ f'(x) = 5x^0 \)

Como todo número elevado a 0 é igual a 1, então:

\(f'(x) = 5 \cdot 1 \\ f'(x) = 5 \)

• Exemplo 3:

Calcule a derivada da função f(x) = 3x⁵.

Resolução:

Calculando, temos que:

\(f'(x) = 5 \cdot 3x^{5 - 1} \\ f'(x) = 15x^4 \)

→ Cálculo da derivada de uma função utilizando a regra da soma e diferença

• Exemplo 1: 

Calcule f'(x), se f(x) = x³ + 2x.

Resolução:

Note que temos uma soma de duas funções, a função gx=x3  e a função hx=2x , então calcularemos a derivada de cada uma delas:

\(f'(x) = \frac{d}{dx} (x^3) + \frac{d}{dx} (2x) \)

Aplicando a regra da potência em cada uma delas, temos que:

\(f'(x) = 3x^{3 - 1} + 1 \cdot 2x^{1 - 1} \\ f'(x) = 3x^2 + 2x^0 \\ f'(x) = 3x^2 + 2\)

• Exemplo 2:

Derive a função a seguir: f(x) = 5x - 2.

Resolução:

\(f'(x) = \frac{d}{dx} (5x) - \frac{d}{dx} (2) \)

Calculando cada uma delas, temos que:

f'(x) = 5 - 0

f'(x) = 5

• Exemplo 3:

Calcule g'(x), se g'(x) = 2x⁵ - 4x + 5.

Resolução:

Calcularemos a derivada de cada um dos termos, logo, temos que:

\(g'(x) = \frac{d}{dx} (2x^5) - \frac{d}{dx} (4x) + \frac{d}{dx} (5) \)

Então, temos que:

\(g'(x) = 5 \cdot 2x^{5 - 1} - 1 \cdot 4x^{1 - 1} + 0\\ g'(x) = 10x^4 - 4x^0\\ g'(x) = 10x^4 - 4 \)

→ Cálculo da derivada da função utilizando a regra do produto

• Exemplo 1

Calcule f'(x) sabendo que f(x) = (x²+3) ⋅ (x + 2).

Resolução:

Temos que:

\(g(x) = x^2 + 3 \rightarrow g'(x) = 2x\\ h(x) = x + 2 \rightarrow h'(x) = 1 \)

Então, temos que:

\(f'(x) = g'(x) h(x) + g(x) h'(x) \\ f'(x) = 2x \cdot (x + 2) + (x^2 + 3) \cdot 1 \)

Aplicando a propriedade distributiva:

\(f'(x) = 2x^2 + 4x + x^2 + 3 \)

Por fim, simplificando o polinômio:

\(f'(x) = 3x^2 + 4x + 3 \)

• Exemplo 2:

Seja f(x) = (x³ - x) ⋅ (x² + 4) , calcule f'(x).

Resolução:

\(g(x) = x^3 - x \rightarrow g'(x) = 3x^2 - 1 \\ h(x) = x^2 + 4 \rightarrow h'(x) = 2x \)

Então, temos que:

\(f'(x) = g'(x) h(x) + g(x) h'(x) \\ f'(x) = (3x^2 - 1)(x^2 + 4) + (x^3 - x) \cdot 2x \)

Aplicando a distributiva:

\(f'(x) = 3x^4 + 12x^2 - x^2 - 4 + 2x^4 - 2x^2 \)

Agrupando os termos semelhantes:

\(f'(x) = 5x^4 + 9x^2 - 4 \)

→ Cálculo da derivada de uma função utilizando a regra do quociente

• Exemplo 1:  

Derive a função \(f(x) = \frac{x^3 - x}{x^2} \).

Resolução:

Temos:

\(g(x) = x^3 - x \rightarrow g'(x) = 3x^2 - 1 \\ h(x) = x^2 \rightarrow h'(x) = 2x \)

Então, temos que:

\(f'(x) = \frac{g'(x) \cdot h(x) - g(x) \cdot h'(x)}{[h(x)]^2} \\ f'(x) = \frac{(3x^2 - 1) \cdot x^2 - (x^3 - x) \cdot 2x}{[x^2]^2} \\ f'(x) = \frac{3x^4 - x^2 - 2x^4 + 2x^2}{x^4} \)

Simplificando o denominador:

\(f'(x) = \frac{x^4 - x^2}{x^4} \\ f'(x) = \frac{x^4}{x^4} - \frac{x^2}{x^4} \\ f'(x) = 1 - \frac{1}{x^2} \)

• Exemplo 2:

Seja a função \(f(x) = \frac{x^3 + 3x}{x^4 - x} \), calcule sua derivada.

Resolução:

Temos:g

\(g(x) = x^3 + 3x \rightarrow g'(x) = 3x^2 + 3 \\ h(x) = x^4 - x \rightarrow h'(x) = 4x^3 - 1 \)

Aplicamos a regra do quociente:

\(f'(x) = \frac{(3x^2 + 3) \cdot (x^4 - x) - (x^3 + 3x) \cdot (4x^3 - 1)}{(x^4 - x)^2} \)

Agora, vamos expandir o numerador:

\(f'(x) = \frac{(3x^2 + 3) \cdot x^4 - (3x^2 + 3) \cdot x - (x^3 + 3x) \cdot (4x^3) + (x^3 + 3x) \cdot 1}{(x^4 - x)^2}\\ f'(x) = \frac{3x^6 - 3x^3 + 3x^5 - 3x - 4x^6 - 12x^4 + x^3 + 3x}{(x^4 - x)^2} \)

Simplificando os termos:

\(f'(x) = \frac{-x^6 + 3x^5 - 12x^4 - 2x^3}{(x^4 - x)^2} \)

Então temos que:

\(f'(x) = \frac{-x^6 + 3x^5 - 12x^4 - 2x^3}{(x^4 - x)^2} \)

→ Cálculo da derivada utilizando a regra da cadeia

• Exemplo 1:

Seja f(x) = (x + 1)², calcule o valor da sua derivada.

Resolução:

Aqui temos a função composta, em que: h(x) = x + 1 e g(x) = (h(x))².

Pela regra da cadeia, sabemos que:

f'(x) = g'(h(x)) ⋅ h'(x)

Então temos que:

\(h(x) = x + 1 \rightarrow h'(x) = 1\\ g(x) = h(x) \rightarrow g'(x) = 2h(x) = 2(x + 1) \)

Assim:

\(f'(x) = 2(x + 1) \cdot 1 \\ g'(x) = 2x + 2 \)

• Exemplo 2:

Seja f(x) = (2x³ + 5x)⁴, calcule f'(x).

Resolução:

Neste caso temos uma função composta, pois temos que \(h(x) = 2x^3 + 5x\) e \(g(h(x)) = h(x)^4\).

Então temos que:

\(f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x) \)

Ainda:

\(h(x) = 2x^3 + 5x \rightarrow h'(x) = 6x^2 + 5 \\ g'(h(x)) = 4 \cdot h(x)^3 = 4 \cdot (x^3 + 5x)^3 \)

Então a derivada da função f(x) é :

\(f'(x) = 4(x^3 + 5x)^3 \cdot (6x^2 + 5) \)

e também: O que é o limite de uma função?

Exercícios resolvidos sobre as regras de derivação

Questão 1

Calcule a derivada da função:

\(f(x) = 5x^4 - 3x^3 + 2x^2 - 7 \)

A) f'(x) = 20x³ - 9x² + 4x

B) f'(x) = 20x³ - 6x² + 4x

C) f'(x) = 15x³ - 9x² + 4x

D) f'(x) = 20x² - 9x + 2

Resolução:

Alternativa C.

Calcularemos separadamente a derivada de cada termo da função:

f(x) =5x⁴ - 3x³+ 2x² – 7

Derivada de 5x⁴ = 4 ⋅ 5x³ = 20x³

Derivada de 3x³ = 3 ⋅ 3x² = 9x²

Derivada de 2x² = 2 ⋅ 2x = 4x

Derivada 7 = 0

Então temos que:

\(f'(x) = 20x^3 - 9x^2 + 4x - 0 \\ f'(x) = 20x^3 - 9x^2 + 4x \)

Questão 2

Utilize a regra da cadeia para calcular a derivada da função fx=3x2+2x+15 :

A) \(f'(x) = 30x(3x^2 + 2x + 1)^4 \)

B) \(f'(x) = 15x(3x^2 + 2x + 1)^4 \) 

C) \(f'(x) = 5(6x + 2) (3x^2 + 2x + 1)^4 \)

D) \(f'(x) = 30x(3x^2 + 2x + 1)^3 \)

Resolução:

Alternativa C.

Aplicamos a regra da cadeia, em que a função composta é:

f(x) = (3x² + 2x + 1)⁵

Sabemos que:

\(f(x) = g(h(x)) \\ g(h(x)) = (3x^2 + 2x + 1)^5 \rightarrow g'(h(x)) = 5(3x^2 + 2x + 1)^4 \\ h(x) = 3x^2 + 2x + 1 \rightarrow h'(x) = 6x + 2 \)

Então temos que:

\(f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x) \\ f'(x) = 5(3x^2 + 2x + 1)^4 (6x + 2) \)

Para encontrar a alternativa correta, basta mudar a ordem dos fatores, então podemos reescrever como: 

\(f'(x) = 5(6x + 2) (3x^2 + 2x + 1)^4 \)

Fonte

GUIDORIZZI, Hamilton L. Um Curso de Cálculo: Volume 1. Rio de Janeiro: Editora LTC, 2001.