Retas perpendiculares

Retas perpendiculares são duas retas cujo ângulo entre elas mede 90°. Se r e s são retas perpendiculares, então escrevemos . Podemos identificar duas retas perpendiculares a partir de suas equações reduzidas, que apresentam o formato . Se é o coeficiente angular de r e  é o coeficiente angular de s, então .

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Resumo sobre retas perpendiculares

• Duas retas são perpendiculares se o ângulo entre elas é reto, ou seja, mede 90°.

• Escrevemos  para denotar que r é perpendicular a s.

• Se r e s são retas perpendiculares, então vale a seguinte relação entre os coeficientes angulares de r  e de s :

• Se r e s são retas perpendiculares,  é a equação geral da reta r, e  é a equação geral da reta s, então

O que são retas perpendiculares?

Considere que as retas r e s estão contidas em um mesmo plano e se cruzam, ou seja, são concorrentes. Dizemos que r e s são perpendiculares se o ângulo entre elas é 90°. Notação:  (lê-se “r é perpendicular a s”). Na representação gráfica, o ângulo reto é indicado por um pequeno quadrado.

Quais são as propriedades das retas perpendiculares?

• Propriedade 1: Como as retas perpendiculares são um caso particular de retas concorrentes, então por duas retas perpendiculares a um único plano. Em outras palavras, dadas duas retas perpendiculares, existe apenas um plano que as contém.

• Propriedade 2: Suponha que r, s e t são retas tais que r é perpendicular a s, e r é perpendicular a t. Então, s e t são retas paralelas, ou seja, são retas que não possuem pontos em comum.

Coeficiente angular de retas perpendiculares

Considere  a equação reduzida da reta r e  a equação reduzida da reta s. Assim, mr e ms são os coeficientes angulares das retas r e s, respectivamente.

Analisando a relação entre  e , podemos determinar se as retas r e s são perpendiculares ou não. Se r e s são retas perpendiculares, então

Ou, de forma equivalente,

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Como identificar duas retas perpendiculares entre si?

Vejamos como identificar duas retas perpendiculares entre si a partir de suas equações reduzidas.

Exemplo 1:

As retas  e  são perpendiculares?

Note que  e  e

Portanto, as retas r e s são perpendiculares.

Exemplo 2:

As retas  e  são perpendiculares?

Observe que  e  e

Portanto, as retas r e s não são perpendiculares.

Método prático para identificar retas perpendiculares

Outro modo de identificar se duas retas são perpendiculares entre si é verificar a relação entre os coeficientes das equações gerais. Considere  a equação geral da reta r e  a equação geral da reta s. Se r e s são retas perpendiculares, então

Exemplo:

As retas  e  são perpendiculares?

Perceba que , ,  e  e

Portanto, as retas r e s são perpendiculares.

Saiba mais: Retas paralelas cortadas por uma transversal — ângulos e propriedades

Posições relativas entre retas

Considere que as retas r e s são distintas e estão contidas em um mesmo plano. Assim, r e s podem ser retas concorrentes ou paralelas.

• Retas concorrentes: r e s são concorrentes se possuem um ponto de intersecção. Se o ângulo entre r e s é 90°, as retas são perpendiculares.

• Retas paralelas: r e s são paralelas se não possuem nenhum ponto em comum.

Observação: duas retas que possuem todos os pontos em comum são chamadas de paralelas coincidentes ou apenas coincidentes.

Exercícios resolvidos sobre retas perpendiculares

Questão 1

Qual deve ser o valor de k para que as retas  e  sejam perpendiculares?

a)

b)

c) 1

d) 13

e) 12

Resolução

Note que k é o coeficiente angular da reta s e 2 é o coeficiente angular da reta r. Assim, para que r e s sejam perpendiculares,

Alternativa A.

Questão 2

(Ufam – adaptado) Considere as retas  e . É correto afirmar que

a) as retas são paralelas.

b) as retas são perpendiculares.

c) as retas são concorrentes no ponto (5,0).

d) as retas são concorrentes no ponto (-10,0).

e) as retas são coincidentes.

Resolução

Note que o problema informa as equações gerais das retas r e s, em que , ,  e . Assim,

Logo, r e s são retas perpendiculares.

Alternativa B.

Fontes

LIMA, E. L. Geometria Analítica e Álgebra Linear. Rio de Janeiro: IMPA, 2014.

REZENDE, E.Q.F.; QUEIROZ, M. L. B. de. Geometria Euclidiana Plana: e construções geométricas. 2ª ed. Campinas: Unicamp, 2008.