Propriedades do polígono regular inscrito

Os polígonos regulares inscritos em uma circunferência apresentam uma série de propriedades que estão relacionadas a seu número de lados. Para compreender essas propriedades, lembre-se:

• Polígonos regulares são aqueles que possuem todos os lados com o mesmo comprimento e todos os ângulos com a mesma medida.

• Polígonos são ditos inscritos em uma circunferência quando todos os seus vértices são pontos pertencentes a ela.

Exemplo de polígono regular inscrito em uma circunferência

Propriedades do polígono regular inscrito

As propriedades a seguir somente são válidas quando o polígono inscrito na circunferência é regular.

1 – Os raios de um polígono regular inscrito em uma circunferência o dividem em triângulos isósceles de mesma área. Então, a área do polígono regular é igual à soma das áreas desses triângulos. Como o número de lados do polígono é igual ao número de triângulos construídos, dessa forma, a área do polígono é também igual ao produto do seu número de lados pela área de um desses triângulos.

Na imagem acima, observe que os raios do polígono são os segmentos que ligam o ponto O, centro da circunferência, à sua borda. Como todos esses raios apresentam o mesmo comprimento, os triângulos que dividem o polígono são isósceles. Além disso, cada lado do polígono é também um lado de um dos triângulos e, por terem a mesma medida pelo caso de congruência “LLL”, esses triângulos são considerados congruentes.

2 – O ponto de encontro das mediatrizes dos lados de um polígono regular inscrito é o centro da circunferência que o circunscreve. Lembrando que mediatriz é a reta perpendicular a um segmento e a por seu ponto médio, essa propriedade pode ser utilizada para desenhar a circunferência a partir do polígono. Observe na seguinte imagem as mediatrizes de um polígono inscrito:

3 – O ângulo central formado por dois raios consecutivos de um polígono inscrito em uma circunferência é dado pela razão entre 360° e o número de lados desse polígono.

4 – Dois polígonos regulares inscritos, em circunferências distintas e com o mesmo número de lados, possuem perímetros proporcionais às medidas de seus lados.

Se dois polígonos possuem o mesmo número de lados e estão inscritos em circunferências distintas, então, esses polígonos são semelhantes. É por esse motivo que existe a proporcionalidade entre os lados desses polígonos e seus perímetros. A imagem a seguir mostra essa situação com as medidas dos polígonos em destaque:

Observe que a proporção entre lados e perímetros dos dois polígonos é válida:

 1  =  6 
 3     18

5 – Dois polígonos inscritos, em circunferências distintas e com o mesmo número de lados, apresentam seus perímetros proporcionais a seus apótemas.

A partir disso, observe as medidas dos apótemas e dos perímetros dos polígonos a seguir e a proporção formada por suas medidas:

Assim, a proporção entre essas medidas é:

12  = 1,73
18      2,6 

O resultado dessa proporção é aproximado.